Begić je rođen 24. 10. 1960. u Sarajevu. Diplomirao je na Fakultetu za saobraćaj u Sarajevu, a od 1983. godine zaposlen je na aerodromu Sarajevo, gdje je obavljao funkciju Izvršnog direktora za saobraćaj. Od 1979. godine bio je aktivno uključen u rad FK „Butmir“ u kojem je od 1996. do 2004. obavljao funkciju predsjednika, a bio je i član uprave kluba.

Kao sportski radnik bio je delegat u Skupštini FSKS, član Predsjedništva FSKS, te član Komisije za bezbjednost i stadione FS BiH. 17.9.2012. godine izabran je za predsjednika FSKS. 18.4. 2011. godine imenovan je za člana Komiteta za normalizaciju FS BiH, tijela konstituisanog od strane FIFA. Obavljao je funkciju prvog potpredsjednika UEFA komiteta za stadione i bezbjednost.

Funkciju predsjednika FS BiH obavljao je od kraja 2012. do 2020. godine. Za vrijeme njegovog mandata izboren je prvi plasman reprezentacije Bosne i Hercegovine na Svjetsko prvenstvo.

FS BiH izražava iskreno saučešće porodici i prijateljima Elvedina Begića.